Кватернионы
Кватернионы (от лат. quaterni - по четыре), система чисел, предложенная в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном. К. возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел х + iy, где х и у- действительные числа, i - базисная единица с условием i2 = -1. Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя "устроить" числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел. Однако если отказаться от одного свойства - коммутативности (переместительности) умножения, - сохранив все остальные свойства сложения и умножения, то из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве и называются кватернионами. К. представляют собой линейную комбинацию четырёх "базисных единиц" 1, i, j, k: X=xo (1+x1+x2j+x3k, где хо, х1, x2, х3 - действительные числа. Действия над К. производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц, указанных в таблице
1
i
j
k
1
1
i
J
k
I
i
-1
k
-j
j
j
-k
-1
i
k
k
J
-i
~!
Из таблицы видно, что 1 играет poль обычной единицы и, следовательно, в записи К. может быть опущена:
X=xo+x1i+x2j+x3k.
(1)
В К. (1) различают скалярную часть хо и векторную часть
V= x1i +x2j+x3k, так что X=xo+V.
Если хо = 0, то кватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными векторами.
В середине 19 в. К. воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения К. к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило К. из этих областей. Ясно, что роль К. ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.
Лит.: см. при ст. Гиперкомплексные числа.