Однородная функция

Однородная функция, функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом l должно иметь место равенство: f (lx, lу,..., lu) = lⁿf (х, y,..., u),

где n - некоторый определённый показатель ("показатель однородности", или "измерение О. ф."). Например, функции х²- 2у²; (x- y-3z)/z²+xyz²;

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, -1, ⁴/₃. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала ?такой функции f (x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:

.
О. ф. часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b,..., l), где а, b,..., l - длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма
усечённого конуса правая часть - О.ф. h, R и r измерения 3.