Случайных процессов прогнозирование

Случайных процессов прогнозирование (экстраполирование), предсказание значения случайного процесса в некоторый будущий момент времени по наблюдённым значениям этого процесса (или, более общо, какого-либо статистически с ним связанного процесса - например суммы прогнозируемого процесса с искажающими наблюдения случайными помехами, т. е. с "шумом") в прошлом и настоящем. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое значение процесса X (t) в момент t = t₁ не может быть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться, чтобы случайная ошибка прогноза D = X (t₁)- X₁(t₁) [где X₁(t₁) - предсказанное значение X (t₁)] в среднем была бы по возможности наименьшей. В теории С. п. п. оптимальным (наилучшим) обычно считается прогноз, для которого минимально математическое ожидание квадрата ошибки D; такой оптимальный прогноз совпадает с условным математическим ожиданием случайной величины X (t₁)при условии, что наблюдаемые величины, по которым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений) значения. Большое место в теории С. п. п. занимает теория оптимального линейного С. п. п., посвященная методам нахождения линейной функции от данных наблюдений такой, что для неё средний квадрат её отклонения от X (t₁) меньше, чем для всех других линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное С. п. п. совпадает с общим оптимальным С. п. п.

Общая теория оптимального линейного С. п. п. для стационарных случайных процессов была разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Большое развитие получила также теория оптимального (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования процессов, являющихся компонентами марковских случайных процессов.

Лит.: Колмогорова. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, "Изв. АН СССР. Сер. математическая", 1941, т. 5, ?1; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы, М., 1974; Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1-2, М., 1974; Wiener N., Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, N. Y., 1949.

? А. М. Яглом.